1. Задача №1:
   • Дано: АО = 4 см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см
   • Найти: длину отрезка МО
   • Решение:
   • Используем теорему о хордах: (АО \cdot ОЕ = ОК \cdot ОМ)
   • Подставляем известные значения: (4 \cdot 5 = 15 \cdot ОМ)
   • Решаем уравнение: (20 = 15 \cdot ОМ), откуда (ОМ = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}) см
2. Задача №2:
   • Дано: АВ = 4, ВС = 6, АК = 12
   • Найти: длину отрезков АМ и МК
   • Решение:
   • Используем теорему о хордах: (АВ \cdot ВС = АК \cdot МК)
   • Подставляем известные значения: (4 \cdot 6 = 12 \cdot МК)
   • Решаем уравнение: (24 = 12 \cdot МК), откуда (МК = 2) см
   • Также, (АМ = АВ + ВМ = 4 + 2 = 6) см
3. Задача №3:
   • Дано: АК = 4, АР = 16
   • Найти: длину отрезка АВ
   • Решение:
   • Используем теорему о касательных: (АК^2 = АВ \cdot АР)
   • Подставляем известные значения: (4^2 = АВ \cdot 16)
   • Решаем уравнение: (16 = 16 \cdot АВ), откуда (АВ = 1) см
4. Задача №4:
   • Дано: АК : КР = 1 : 3, АВ = 14
   • Найти: длину отрезков АР и АК
   • Решение:
   • Пусть АК = х, тогда КР = 3х
   • Из условия задачи: АК + КР = АВ, откуда (х + 3х = 14)
   • Решаем уравнение: (4х = 14), откуда (х = \frac{14}{4} = 3.5) см
   • Также, (КР = 3 \cdot 3.5 = 10.5) см
5. Задача №5:
   • Дано: BC = 4, AD = 64, BD = 16
   • Найти: подобие треугольников CBD и BDA
   • Решение:
   • Так как BD - средняя линия трапеции ABCD, то BD = (BC + AD) / 2
   • Подставляем известные значения: 16 = (4 + 64) / 2
   • Решаем уравнение: 16 = 68 / 2, что верно
   • Таким образом, треугольники CBD и BDA подобны

Таким образом, решив данные задачи, можно убедиться в правильности применения геометрических теорем и законов.